Introducción
La Ley de Hardy-Weinberg establece que las frecuencias genotípicas y fenotípicas en una población se mantienen constantes de una generación a otra cuando la herencia es mendeliana y no hay factores perturbadores. Dado un gen con dos alelos A y a, las frecuencias fenotípicas AA, Aa y aa se mantendrán constantes al paso de las generaciones.

Aseveraciones intuitivas
Uno de los orígenes de la ley de Hardy-Weinberg proviene de una controversia entre dos puntos de vista intuitivos pero contradictorios:

a) En una población, el fenotipo del gen dominante terminará, después de algunas generaciones, por tener una frecuencia del 75%.

b) Después de varias generaciones, se alcanzará un equilibrio en la frecuencia de los fenotipos, pero no necesariamente siendo la del dominante la más alta.

Esta controversia es a la que Godfrey Harold Hardy, matemático inglés (1877-1947), dio una solución en una elegante, concisa y corta “Carta al Editor” en la revista Science (Hardy, 1908), explicando de una forma directa y sin lugar a dudas, que la intuición (a) es incorrecta, y demostrando matemáticamente que la (b) era la correcta. En su explicación, establece mediante una ecuación muy sencilla la relación entre las frecuencias de alelos de la generación progenitora (por ejemplo, A y a) y las frecuencias de genotipos de la generación descendiente (por ejemplo, AA, Aa y aa). Esa ecuación es precisamente el núcleo de la “Ley de Hardy-Weinberg”. Como muchas veces ocurre en la ciencia, en ese mismo año, y de forma independiente, Wilhelm Weinberg (1862-1937), médico alemán, descubrió esa misma relación o ley, razón por la que la “Ley” lleva el nombre de ambos personajes.

El cuadro de Punnett

Las frecuencias alélicas de un gen con herencia mendeliana se pueden representar gráficamente en un cuadro de los alelos de la madre vs. los alelos del padre. Si ambos progenitores son heterocigotos, entonces el cuadro puede ser como se muestra en la Figura 1.

Mediante una representación ortogonal, en las columnas se colocan los alelos de un progenitor, por ejemplo A y a, y en las filas el del otro progenitor. El cuadro se llena con las combinaciones diploides de los alelos en la columna y renglón correspondiente, en este caso, alguna de las combinaciones AA, Aa, o aa. El cuadro permite conocer las frecuencias genotípicas de la descendencia de la generación inmediata. Por ejemplo, para el cuadro de la Figura 1 se tiene 1xAA, 2xAa y 1xaa, las frecuencias son entonces 1:2:1, o en porcentajes 25:50:25.

En la Figura 2 se esquematiza que la descendencia de la cruza entre un heterocigoto (Aa) y un homocigoto recesivo (aa) resulta en 50:50, mientras que la cruza entre un homocigoto dominante (AA) y uno recesivo (aa) resulta en 100:0. El caso en que la cruza es entre dos progenitores heterocigotos (Aa x Aa) resulta en una descendencia con proporciones 25:50:25 para AA:Aa:aa.

Por alguna razón Yule (quien argumentaba el punto de vista a de la controversia) intuía, erróneamente, que al paso de las generaciones, el equilibrio se alcanzaba precisamente en las proporciones 25:50:25, pero Punnett (quien argumentaba el punto de vista b) intuía, de forma acertada, que no era así necesariamente. El equilibrio significa que la generación produce descendencia con las mismas frecuencias alélicas, es decir, la proporción A: a es la misma de una generación a otra.

El nombre de “Cuadro de Punnett” se debe al genetista inglés Reginald Crundall Punnett (1875 – 1967), quien platicó a Hardy su idea intuitiva, y este último formalizó matemáticamente.

La Ley de Hardy-Weinberg
Lo que la Ley de Hardy-Weinberg establece es que las proporciones de alelos es la misma de una generación a otra. La Ley suele expresarse en términos de las frecuencias de los alelos mediante la ecuación de un binomio cuadrado y su desarrollo:

(p+q)² = p² + 2pq + q²

Pensemos que el lado izquierdo de la ecuación representa a las frecuencias alélicas en la generación progenitora, mientras que el lado derecho representa a las frecuencias de los fenotipos AA, Aa y aa de la descendencia. Entonces, lo que nos dice la ecuación es que las frecuencias alélicas de la segunda generación son también p y q, es decir, son las mismas que la de la generación progenitora.

Supongamos que se tiene una población con las frecuencias genotípicas 25:50:25 para AA, Aa y aa, respectivamente. Las frecuencias fenotípicas serán entonces: 75 para el carácter dominante (25+50) y 25 para recesivo. Las frecuencias alélicas serán: 100 para el alelo A (2x25 + 50) y 100 (50 + 2x25) para el alelo a. Si la población está en equilibrio de Hardy-Weinberg, entonces las proporciones de los alelos permanecerán constantes de una generación a otra. La ecuación relaciones de una forma elegante a los tres tipos de frecuencias. Ahora expresemos las frecuencias en proporciones:

Su Frecuencia del alelo A = 100;
Frecuencia del alelo a = 100;
Total de alelos (A + a)= 200

Proporción de alelos A = 100/200 = 0.5 = p
Proporción de alelos a = 100/200 = 0.5 = q

El desarrollo del binomio cuadrado (p+q)² es:

(p+q)² = p² + 2pq + q²

(0.5+0.5)² = 0.5² + 2x0.5x0.5 + 0.5²

(0.5+0.5)² = 0.25 + 0.5 + 0.25

que se puede interpretar como que las proporciones de los genotipos de la generación descendiente son:

AA = 25%
Aa = 50%
aa = 25%

Como la ecuación es una igualdad, entonces sabemos que la proporción de alelos en la generación descendiente es también 0.5 para el alelo A y 0.5 para el alelo a. Así, la ecuación establece que el carácter recesivo de una población no desaparecerá aún después de muchas generaciones, más bien se mantendrá en la misma proporción en el paso de las generaciones.

Así, aunque las proporciones de los genotipos (AA:Aa:aa) pueden cambiar de una generación a otra, la proporción de alelos (A:a) permanecen constante.

Cálculo de frecuencias fenotípicas en el equilibrio
La Ley de Hardu-Weinber puede ser útil para calcular las frecuencias genotípicas en una población, siempre que ésta se encuentre en equilibrio, es decir, que se cumplan los supuestos explicados en la sección anterior.

Supóngase que observamos una población de plantas con flores de dos colores: rojas (dominantes) y lilas (recesivas), en una proporción de 96% y 4%, De este dato podemos decir que el genotipo aa tiene una frecuencia 4%, pero las plantas con flores rojas pueden tener fenotipos AA o Aa, y solo sabemos que su suma es 96%, pero ¿qué proporción es AA y qué aa? entonces abemos que la proporción de aa es 4%, es decir, 0.04, que en la ecuación:

(p+q)² = p² + 2pq + q²

equivale al término q², sustituyendo q² = 0.04:

(p+q)² = p² + 2pq + 0.04

para conocer el valor de q, obtenemos la raíz cuadrada de q²: q = √0.04 = 0.2. como p + q = 1, entonces p = 0.8:

(p+q)² = p² + 2pq + 0.04

(0.8+0.2)² = 0.8² + 2x0.8x0.2 + 0.2²

(0.8+0.2)² = 0.64 + 0.32+ 0.04

Es decir, ahora conocemos las proporciones de los genotipos:

AA = 64%
Aa = 32%
aa = 4%

Si el carácter recesivo es flor morada, y estas se encuentran en la población en un 4% (y las flores rojas en un 96%), entonces podemos saber que los genotipos de las flores rojas son 64% y 32%: